債券的久期和凸度

3. 國債中的"修正久期"和"凸性"是什麼意思

問得比較專業，呵呵。 1962年麥爾齊最早提出債券定價的五個原理，至今被視為債券定價理論的經典。其一，債券的價格與收益率成反比關系。其二，對於期限既定的債券，由收益率下降導致的債券價格上升的幅度大於同等幅度的收益率上升導致的債券價格下降的幅度。由此而推出債券價值分析的「凸性」概念，凸性反映債券價格與債券收益率在圖形中的反比關系，等於價格-收益曲線除以債券價格的二階導數。 計算公式；c=1/p∑pv（t2+t）/（1+y）t+2 久期是馬考勒提出的，它使用加權平均的形式計算債券的平均到期時間 公式:D=∑[PV（ct）t/P0] 修正馬考勒久期是債券價格曲線的斜率，即久期除以（1+y），在度量債券的利率風險方面，修正久期比久期更加方便。他是一個強度概念，反映市場利率變化對債券價格的影響強度。

4. 您好，請問您知道債券的久期與凸度的區別嗎

久期項是債券價格與利率關系的一階導數，凸性是債券價格對利率的二階導數。

債券價格的實際變動量是久期和凸性兩個因素所導致的價格變動部分的疊加。而對於收益率較大幅度的變動，僅僅使用久期的部分作為價格變動的估計是有較大誤差的，在這種情況下，債券價格的變化幅度可以通過加總久期和凸性所分別導致的價格變化部分而得到更為准確的估計。具體地說，只要將二者直接進行簡單的加總即可。
現實中的應用：若預測收益率將下降，對於久期相同的債券，選擇凸性較大的品種較為有利，反之則反。

5. 金融久期和凸性分別是什麼

這需要用到微積分的泰勒展開式
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
D（久期）=1*PVx1+...n*PVxn)/PVx PVXi表示第i期現金流的現值
即以未來時間發生的現金流，按照目前的收益率折現成現值，再用每筆現值乘以其距離債券到期日的年限求和，然後以這個總和除以債券目前的價格得到的數值。
久期描述了價格-收益率曲線的斜率，凸性描述了曲線的彎曲程度。凸性是債券價格對收益率的二階導數，是對債券久期利率敏感性的測量。在價格－收益率出現大幅度變動時，它們的波動幅度呈非線性關系。由持久期作出的預測將有所偏離。凸性就是對這個偏離的修正。

如果上面你比較迷茫的話，我現在再來說簡單點，不過打字比較麻煩啊

Macaulay久期就是從當前時刻至到期日之間所有現金流流入的加權平均時間間隔。
債券價格B=∑Ci·e^(-y·Ti)
Ci表示各付息日Ti的現金流入 y表示連續復利計算的到期收益率
將B對y求導並除以B取負號就得到了麥考利久期
D=-dB/dy·1/B=∑[Ci·e^(-y·Ti)]·Ti/B

B（y）在y.處一階泰勒展開為B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y
則△B/B=dB/dy·1/B·△y

由D=-dB/dy·1/B得△B/B=-D·△y

若對於給定的收益率變動幅度，久期或修正久期越大，則債券價格的波動率越大。
當△y較大時，為了更精確，需要對B（y）在y.處二階泰勒展開：

B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y+1/2·d²B/dy²·(△y)²

△B/B=dB/dy·1/B·△y+1/2·1/B·d²B/dy²·(△y)²

定義凸度為債券價格對收益率二階導數除以價格即C=1/B·d²B/dy²
△B/B=-D·△y+1/2·C·(△y)²
當收益率變化很小時，如只有千分之一，則凸度就幾乎不起作用，了解了否？

6. 如何利用久期和凸性 衡量債券的利率風險

久期和凸性是衡量債券利率風險的重要指標。很多人把久期簡單地視為債券的到期期限,其實是對久期的一種片面的理解,而對凸性的概念更是模糊。在債券市場投資行為不斷規范,利率風險逐漸顯現的今天,如何用久期和凸性量化債券的利率風險成為業內日益關心的問題。

久期

久期(也稱持續期)是1938年由

F.R.Macaulay提出的,用來衡量債券的到期時間。它是以未來收益的現值為權數計算的到期時間。其公式為

其中,P=債券現值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期數,M=到期支付的面值。

可見久期是一個時間概念,是到期收益率的減函數,到期收益率越高,久期越小,債券的利率風險越小。久期較准確地表達了債券的到期時間,但無法說明當利率發生變動時,債券價格的變動程度,因此引入了修正久期的概念。

修正久期

修正久期是用來衡量債券價格對利率變化的敏感程度的指標。由於債券的現值
對P求導並加以變形,得到:

我們將
的絕對值稱作修正久期,它表示市場利率的變化引起的債券價格變動的幅度。這樣,不同現值的券種就可以用修正久期這個指標進行比較。

由公式1和公式2我們可以得到:

在某一特定到期收益率下,P為常數,我們記作P0,即得到:

由於P0是理論現值,為常數,因此,債券價格曲線P與P
/P 0有相同的形狀。由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P
0的斜率為修正久期,而債券價格曲線P的斜率為P0×(修正久期)。

修正久期度量了收益率與債券價格的近似線性關系,即到期收益率變化時債券價格的穩定性。修正久期越大,斜率的得絕對值越大,P對y的變動越敏感,y上升時引起的債券價格下降幅度越大,y下降時引起的債券價格上升幅度也越大。可見,同等要素條件下,修正久期小的債券較修正久期大的債券抗利率上升風險能力強,但抗利率下降風險能力較弱。

但修正久期度量的是一種近似線性關系,這種近似線性關系使由修正久期計算得出的債券價格變動幅度存在誤差。如下圖,對於債券B′,當收益率分別從y上升到y1或下降到y2,由修正久期計算出來的債券價格變動分別存在P1′P1"和P2′P2"的誤差。誤差的大小取決於曲線的凸性。

市場利率變化時,修正久期穩定性如何?比如上圖中,B′和B"的修正久期相同,是否具有同等利率風險呢?顯然不同。當y變大時,B"價格減少的幅度要小,而當y變小時,B"價格變大的幅度要大。顯然,B"的利率風險要小於
B′。因此修正久期用來度量債券的利率風險仍然存在一定誤差,尤其當到期收益率變化較大時。凸性可以更准確地度量該風險。

凸性

利用久期衡量債券的利率風險具有一定的誤差,債券價格隨利率變化的波動性越大,這種誤差越大。凸性可以衡量這種誤差。

凸性是對債券價格曲線彎曲程度的一種度量。凸性越大,債券價格曲線彎曲程度越大,用修正久期度量債券的利率風險所產生的誤差越大。嚴格地定義,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發生變動而引起的價格變動幅度的變動程度。

根據其定義,凸性值的公式為:

凸性值
=

凸性值是價格變動幅度對收益率的二階導數。假設P0是理論現值,則凸性值=

應用

由於修正久期度量的是債券價格和到期收益率的近似線性關系,由此計算得出的債券價格變動幅度存在誤差,而凸性值對這種誤差進行了調整。

根據泰勒系列式,我們可以得到
的近似值:

這就是利用修正久期和凸性值量化債券利率風險的計算方法。我們可以看到,當y上升時, 為負數,若凸性值越大,則
的絕對值越小；當y下降時,為正數,若凸性值越大,則越大。

因此,凸性值越大,債券利率風險越小,對債券持有者越有利；而修正久期具有雙面性,具有較小修正久期的債券抗利率上升風險較強,而當利率下降時,其價格增幅卻小於具有較大修正久期債券的價格增幅。

以國債21國債(15)和03國債(11)為例,兩券均為7年期固息債,每年付息一次(附表為今年3月1日的有關指標)。

相比之下,21國債(15)具有較小的修正久期和較小的凸性值。如果收益率都上升50個基點,其價格變動幅度分別為:

21國債(15):

03國債(11):

可見經過對久期和凸性的簡單計算,可以比較直觀地衡量債券的利率風險。如果收益率變動幅度不大,則一般修正久期即可以作為度量利率風險的近似指標。

7. 如何用數學方法證明債券的久期和凸性

什麼是凸性
久期本身也會隨著利率的變化而變化。所以它不能完全描述債券價格對利率變動的敏感性，1984年Stanley Diller引進凸性的概念。

久期描述了價格-收益率曲線的斜率，凸性描述了曲線的彎曲程度。凸性是債券價格對收益率的二階導數。

[編輯]凸性的計算

由債券定價定理1與4可知，債券價格-收益率曲線是一條從左上向右下傾斜，並且下凸的曲線。下圖中b>a。

債券定價定理1：

債券價格與到期收益率成反向關系。

若到期收益率大於息票率，則債券價格低於面值，稱為折價債券（discount bonds）；
若到期收益率小於息票率，則債券價格高於面值，稱為溢價債券（premium bonds）；
若息票率等於到期收益率，則債券價格等於面值，稱為平價債券（par bonds）。
對於可贖回債券，這一關系不成立。

債券定價定理4：

若債券期限一定，同等收益率變化下，債券收益率上升導致價格下跌的量，要小於收益率下降導致價格上升的量。

例：三債券的面值都為1000元，到期期限5年，息票率7%，當到期收益率變化時。

到期收益率(%) 6 7 8
價格 1042.12 1000 960.07
債券價格變化率(%) 4.21 0 -4.00
[編輯]凸性的性質
1、凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。利率下降時，凸性增加。

2、對於沒有隱含期權的債券來說，凸性總大於0，即利率下降，債券價格將以加速度上升；當利率上升時，債券價格以減速度下降。

3、含有隱含期權的債券的凸性一般為負，即價格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長。因為利率下降時買入期權的可能性增加了。

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8. 已知久期凸度利率上升對債券價格的影響，求詳細解答帶公式

該債券頭寸價值變動=100萬元*（-1*8*0.25％+150*0.25％*0.25％）=-19062.5元
也就是說利率上升25基點該債券頭寸價值下跌19062.5元